Die Großen Probleme der Antike

Die Großen Probleme der Antike, das ist ein Thema, das die Mathematiker und alle Mathematik-Interessierten durch die Zeiten hindurch herausgefordert hat. Im Zentrum stehen die Verdopplung eines Würfels, die Dreiteilung eines Winkels und die sog. Quadratur des Kreises. Das Ziel war, so das Narrativ, eine Lösung mit Zirkel und Lineal. Erst im 19. Jahrhundert gelang der Beweis, dass dies etwas Unmögliches beinhaltet. Ein vielfältiges Scheitern wäre damit bereits vorprogrammiert.
Neu ist hier der Ansatz, sehr direkt auf die antiken Darstellungen der Lösungen zurückzugehen. Erst im Anschluss werden deren spätere Interpretationen in die Betrachtung einbezogen. Dabei zeigt sich, dass die nachträglichen Sichtweisen durch zeitgenössische Konzepte eingefärbt sind. Schon die Fährte, die Pappus mit seinem Verweis auf die Alten gelegt hat, dürfte in die Irre führen. Als zentral für das Verständnis erweist sich das Konzept der Konstruktion und deren performative Interpretation.
Den Rahmen der antiken Lösungen rundet Vieta 1593 ab mit seinem Supplementum Geometriae. Vieta fügt den Axiomen der Euklidischen Geometrie ein Neusis-Axiom hinzu. Tatsächlich war ein entsprechendes Vorgehen bei höheren Problemen in der Antike offenbar weit verbreitet, womöglich sogar Standard. Es als bloßes Herumfummeln abzuqualifizieren, entsprechend der Sicht der Moderne, das wird dem Denken der Antike ganz sicher nicht gerecht.
Descartes erweitert den Werkzeugkasten der Geometer um Kurven, die in Anknüpfung an die Antike charakterisiert werden als werkzeugmäßig erzeugbar. Mit dem Aufkommen der analytischen Geometrie rücken dann algebraische Darstellungen derartiger Kurven, und damit Gleichungen, in den Focus.
Das Interesse an rein synthetischen Lösungen geometrischer Probleme verliert sich bis zur Mitte des 18. Jahrhunderts. Im Jahr 1809 erscheint ein Buch mit dem Titel Entdeckungen in der Höhern Geometrie, verfasst von einem Diedrich Uhlhorn aus dem Oldenburgischen. Uhlhorn wird später berühmt als Pionier des Maschinenbaus. Sein mathematisches Werk bleibt aber ohne Resonanz. In den Entdeckungen geht es um sog. krumme Linien, insbesondere um Kurven zu den Großen Problemen der Antike und um Werkzeuge zu deren organischer Erzeugung. Damit gelingt es Uhlhorn, die antiken Lösungen umfassend an die Erwartungen der Neuzeit anzupassen.
Neue Einsichten zur Verwandtschaft der Lösungen drängen sich auf, selbst eine neue Sicht auf das gesamte Unterfangen der Alten.